Geometri og topologi

En spesialisering innen Masterprogrammet i Matematikk (MAT)

Studiets oppbygning

Hva er "Geometri og Topologi"?

Mennesker har lenge studert egenskaper ved geometriske figurer. I geometri er man ofte interessert i begreper som avstand, vinkel, areal og volum. Topologer studerer mer kvalitative egenskaper ved romlige former.  Etter hvert som matematikken har utviklet seg har geometri og topologi vokst til et aktivt forskningsomr?de, med forbindelser til fysikk og mange andre deler av matematikken. Matematisk institutt ved UiO har en aktiv forskningsgruppe innen algebraisk og geometrisk topologi. Se gruppens hjemmeside for informasjon om v?re forskningsaktiviteter.

De fast ansatte i Geometri og Topologi-gruppen er:

Kim Fr?yshov
Fr?yshov arbeider med topologiske anvendelser av gauge-teori p? 3- og 4-mangfoldigheter.  Den f?rste slike anvendelsen ble gitt av S. Donaldson i en artikkel fra 1983 som revolusjonerte teorien for glatte 4-mangfoldigheter.  Generelt s?ker man ? oppn? informasjon om topologien til glatte 4-mangfoldigheter ved ? studere moduli-rom av l?sninger til bestemte ikke-line?re partielle differensiallikninger som stammer fra fysikk, spesielt instanton- og monopol-likningene.  I det tilfellet hvor 4-mangfoldigheten er en sylinder, har man ved bruk av id¨¦er fra Morse-teori definert ulike former for Floer-homologi. Fr?yshov har s?rlig studert bestemte numeriske invarianter av homologi-3-sf?rer avledet av Floer-homologi.  Disse invariantene legger begrensninger p? snittformen til en kompakt, orientert glatt 4-mangfoldighet som har en gitt homologi-sf?re som rand. 

John Rognes
Rognes arbeider med algebraisk topologi og algebraisk K-teori, med forgreninger til geometrisk topologi, algebraisk geometri og tallteori. Geometriske sp?rsm?l om kontinuerlige eller differensiable symmetrier av h?y-dimensjonale mangfoldigheter kan besvares ved hjelp av algebraisk K-teori av ring-spektra. For eksempel er alle de stive symmetriene av en sf?re gitt ved ortogonale rotasjoner, men det finnes en mye st?rre gruppe av myke symmetrier. Algebraisk K-teori er en videreutviklet form for line?r algebra og tallteori, mens ring-spektra er algebraisk-topologiske utvidelser av ringbegrepet, ogs? kjent som "vidunderlige nye ringer". Rognes er opptatt av ? studere slik algebraisk K-teori gjennom mer effektivt beregnbare invarianter, som topologisk syklisk homologi, og ? forst? disse beregningene konseptuelt ved ? tenke algebraisk-geometrisk p? de nye ringene som ringer av funksjoner p? nye geometriske objekter.

Paul Arne ?stv?r
?stv?r forsker i grenseomr?det mellom algebraisk geometri og algebraisk topologi. Han er spesielt interessert i ? overf?re topologiske teknikker til studiet av l?sninger av algebraiske likninger. Dette involverer ofte at man gj?r homotopiteori for andre objekter enn vanlige topologiske rom. Den moderne perioden for denne delen av matematikken startet p? 1980-tallet med oppdagelsen av modellstrukturer for simplisielle objekter i algebraisk geometri. I de senere ?r har denne teorien utviklet seg til det man i dag kaller motivisk homotopiteori. ?stv?r har n? en 20% stilling ved Universitetet i Oslo.

Om masterstudiet i matematikk med "Geometri og Topologi" som spesialisering

For ? kunne skrive en masteroppgave innenfor Geometri og Topologi, b?r du ha opptak til studieretningen Matematikk (MAT) innen masterprogrammet i Matematikk. Masterstudiet er p? to ?r best?ende av emner og arbeid med masteroppgave. Tar du kort oppgave (30 studiepoeng) best?r de tre f?rste semestrene av emner og selve masteroppgaven gj?res i fjerde semester. Tar du lang oppgave (60 studiepoeng), s? er det emner i hele f?rste semester. I andre semester er det avsatt tid til arbeid med masteroppgaven ved siden av emner p? 20 studiepoeng, mens du i tredje semester tar ett emne p? 10 studiepoeng ved siden av arbeid med oppgaven. Hele fjerde semester er satt av til arbeid med masteroppgaven. Nedenfor finner du to studieplaner for et masterstudium med spesialisering innenfor Geometri og Topologi.

Forslag til oppbygning av masterstudiet med kort masteroppgave:

Forslag til oppbygning av lang masteroppgave:

Veileder og mer informasjon:

Disse studieveiene er bare ment som eksempler. Den enkelte students studievei p? masterniv? vil bli lagt opp i Öйú¾º²ÂÍø_Öйú×ã²ÊÍø-×ãÇòÍƼö med veilederen, med utgangspunkt i studentens bakgrunn og interesser og med tanke p? temaet for masteroppgaven. Gruppen i geometri og topologi kan tilby forskjellige typer masteroppgaver, fra helt grunnleggende sp?rsm?l om teoribygging til mer fokus p? regnemessige ferdigheter. Ta gjerne kontakt med de fast ansatte i gruppen for ? avtale en samtale.